Los
números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo
de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas
manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se
suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares
tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las
plantas, en las caparazones de moluscos, en la forma de ciertas
galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de
crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en
tales afirmaciones.
por Donald E. Simanek
La secuencia de Fibonacci
Leonardo
de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia
e hizo muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el
público en general por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}.
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| Leonardo de Pisa (Fibonacci). |
Esta
secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números
(las "semillas" de la secuencia) y el número siguiente se obtiene como
la suma de los dos números anteriores. Esta simple regla genera una
secuencia de números que tienen muchas propiedades sorprendentes, de las
cuales citaremos algunas:
- Tome tres números adyacentes de la secuencia. Eleve al cuadrado el número del medio. Multiplique los otros entre sí. La diferencia entre estos dos resultados es siempre 1. Por ejemplo, si tomamos {3, 5, 8} vemos que 5²=25 y que 3·8=24. La diferencia resulta ser 1.
- Tome cuatro números adyacentes de la secuencia. Multiplique los dos de los extremos. Multiplique los que hay dentro. El primer producto será una unidad mayor o una unidad menor que el segundo. Por ejemplo, si tomamos {21, 34, 55, 89} vemos que 21·89=1869, mientras que 34·55=1870.
- La suma de los diez números adyacentes es igual a 11 veces el séptimo de los diez. Por ejemplo, si tomamos {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89} vemos que la suma resulta 231 que es 11 el séptimo número de nuestra sucesión (el número 21).
Esto
es sólo un ejemplo de muchas secuencias con las relaciones recursivas
simples. La secuencia Fibonacci obedece a la relación recursiva P(n)=P(n-1)+P(n-2).
En tal secuencia, los primeros dos valores deben ser arbitrariamente
elegidos. Se les llama las "semillas" de la secuencia. Cuando se eligen
al 0 y al 1 como semillas, o 1 y 1, o 1 y 2, la secuencia se denomina la
secuencia Fibonacci.
La secuencia formada a partir de la relación entre los números
adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de
1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.
Una característica notable de esta secuencia es que la inversa de
Φ
es 0,6180339887... que es igual a
Φ-1. Dicho de otra manera,
Φ
= 1 + 1/Φ. Esto es cierto, sean cuales sean los dos números enteros que
se usen como semillas para inicializar la secuencia, es decir, este
resultado sólo depende de la relación recursiva que utiliza y no de la
elección de las semillas. Por lo tanto hay muchas secuencias diferentes
que convergen a
Φ
. Se les llama "secuencias generalizadas de Fibonacci".
A
la relación Φ=1,6180339887... se llama "proporción áurea". Los
rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos
de oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos
son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada",
una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales
que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran
parte del interés popular y mística en este asunto matemático.
Es
fácil inventar otras relaciones de recursividad interesantes. Algunas
han sido lo suficientemente interesantes como para que lleven el nombre
de sus autores. La sucesión de Lucas es bien conocida: {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...}.
Tiene por semillas a 1 y 3, y la misma relación de recursión de la
serie de Fibonacci (algunos libros inician esta serie con las semillas 2
y 1, y el resto de la serie sigue de la misma manera). La relación
entre números adyacentes de la sucesión resulta ser Φ
para grandes valores.
¿Y qué hay de una relación recursiva diferente? Por ejemplo: P(n)=P(n-2)+P(n-3). Con las tres semillas 0, 1, 1 se obtiene la sucesión {0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, ...}. Las semillas, junto con la relación de recursión, definen unívocamente a la secuencia. La relación entre dos términos sucesivos P(n+1)/P(n) converge
a 1,3247295... cuyo recíproco es 0,7545776665... (tenga en cuenta que
su recíproco no es una unidad menor que él mismo, al contrario de lo que
podría haber esperado).
Por
lo general, para todas estas sucesiones, los primeros valores de las
relaciones entre dos números sucesivos no parecen tener un patrón
consistente, pero para números grandes convergen a valores que son casi
constantes, y después de n=30, la proporción alcanza un valor estable
con alrededor de 10 decimales.
Los sinsentidos sobre Fibonacci
Una
búsqueda en internet, o en su biblioteca local lo convencerá de que la
serie de Fibonacci ha atraído a más de un lunático que busca el
misticismo en los números. Se puede encontrar con afirmaciones
fantásticas como estas:
- Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectángulares áureos, pero no lo hacían).
- Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana.
- Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una composición).
- La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a sospechar que la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a casi cualquier cosa!
- Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se "explican" por esta relación.
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| ¿Hay una espiral áurea en la cola de un camaleón? |
La publicidad de la espiral de oro
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| Galaxia espiral. |
La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.
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| Sección de la caparazón de un nautilus. |
No
es difícil encontrar que una de estas curvas se ajusta a un patrón
particular en la naturaleza, incluso si ese patrón está sólo en el ojo
del espectador. Sin embargo, el pequeño y sucio secreto de todo esto es
que cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los
ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros suelen tener
variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que
dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad,
por alguna otra espiral. El hecho de que una curva "encaja" con datos
físicos no da ninguna pista acerca de los procesos físicos subyacentes
que producen dichas curvas en la naturaleza. Tenemos que indagar más
para encontrar esos procesos.
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| Anillos de vórtices formados por las alas de un avión comercial. |
Muchos de los libros sobre los números de Fibonacci vienen en sus portadas con imágenes de espirales que podemos hallar en la naturaleza. Esto ayuda a vender los libros, porque a la gente le gusta las imágenes bonitas. La naturaleza tiene muchas formas en espiral. Ninguna de ellas son espirales de oro y muchas ni siquiera se acercan. Tampoco se "explican" por la matemática de Fibonacci.
El orden está en el ojo del espectador
A veces, los autores "magufos"
de ciencia, escriben libros que intentan persuadirnos de las "falsedades de Fibonacci". Citamos algunos ejemplos:
La caparazón del nautilus. Consideremos la afirmación, comúnmente vista, de que la caparazón del Nautilus pompilius se ajusta a la espiral de oro. La foto muestra un corte donde se observan las cámaras interiores. Para compararlas se ilustra una espiral dorada a la izquierda. ¡Es evidente que esta criatura no ha leído esos libros! Si se superponen ambas, no coincidirían nunca, sin importar cómo se las alinee o escale. De hecho, el dibujo de la izquierda no es del todo correcto. Está construido con segmentos de arco circular dentro de cada cuadrado. Esta curva tiene discontinuidades en su curvatura en cada cruce de un cuadrado al siguiente. La verdadera espiral de Fibonacci cambia de curvatura suavemente, aunque la diferencia no sería perceptible para el ojo a esta escala. Este diagrama muestra cómo subdividir el rectángulo áureo. Si se dibuja un cuadrado inscripto dentro de rectángulo, el área rectangular que queda es un nuevo rectángulo aúreo más pequeño. De nuevo, se puede dibujar otro cuadrado dentro de éste, y seguir así. A continuación, se unen los puntos con una curva suave, como se muestra para conseguir algo que, por lo menos, parece superficialmente la espiral de oro.
La cola del pavo real.
Este pavo real se está burlando de los "misti-máticos" (o matemáticos
místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones
en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o corresponden a algún otro
tipo de espiral? La ecuación matemática exacta de la espiral depende de
cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. ¿Nos dice este patrón
algo científicamente importante sobre biología de las aves? Es muy poco
probable.
Girasoles.
¿Podría ser que exista alguna conexión mística o genética entre los
pavos reales y los girasoles? No deberíamos hablar de estas
posibilidades, o alguien podría tomarlo en serio e incorporarlo en su
sitio web o un libro de texto.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo
también puedo crear algo parecido a una espiral de oro, sin un título
en matemáticas superiores. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una
cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con
fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el
que todo el mundo hace tanto escándalo".
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| Los caracoles de jardín también muestran una espiral, como resultado de la forma que crece su concha. |
Otra espiral que a veces se suele encontrar en la naturaleza es la espiral de Arquímedes. Se puede construir esta espiral en un papel. Se marca un punto central. A cierta distancia se marca otro punto. A continuación, se crea un ángulo de 45° desde este punto, hasta el punto central. Se marca un punto en un radio una cantidad x de veces menor que el radio del primer punto. Se sigue haciendo lo mismo, a medida que se gira otros 45° y se hace el radio x veces más pequeño cada vez. El resultado es una linda espiral, pero no es una espiral dorada. Y recuerde que las espirales de la naturaleza no siempre son espirales de Fibonacci, y, que a veces ni si quiera se acercan.
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| Al superponer la espiral áurea con una espiral natural (la cola enrollada de un camaleón) se nota una clara discrepancia entre las dos formas. |
Obsesiones doradas
Ombligos.
Hemos leído que se puede revelar Φ midiendo la altura de una persona y
la altura desde el suelo hasta su ombligo. La relación de la altura al
ombligo y la altura total se supone que es Φ. La implicación es que éste
es un indicador del atractivo de las proporciones corporales. ¿Alguien
ha revisado a las personas reales? En mi interés por la ciencia he
comprobado esta afirmación en una amplia muestra de las modelos más
populares en trajes de baño. Esto debería verificar la afirmación de que
los cuerpos considerados como "hermosos" deben tener las
características ideales de forma, incluida la altura de ombligo ideal
(es un trabajo duro, pero alguien tenía que hacerlo). Los resultados
arrojaron un promedio de 0,58±0,01 con una variación bastante pequeña.
Esto en cuanto a este mito.
¿Podría alguien decir que una preciosa modelo en traje de baño fuese menos atractiva si lleva puesta una malla de una sola pieza que le cubra completamente el ombligo? Esta observación expone la estupidez de cualquier afirmación sobre los ombligos y Fibonnaci. Sin embargo, para salvar a la hipótesis, algunos podrían suponer que la razón por la que algunas mujeres usan tacones altos y algunos hombres creen que es atractivo, es buscar la altura del ombligo justa para lograr la proporción ideal respecto a la altura del cuerpo.
Esta
afirmación del ombligo a menudo se ilustra con el dibujo
del Hombre Universal
de Leonardo Da Vinci, también llamado "Hombre de Vitruvio", ya que se ha
elaborado para ilustrar un libro de Vitruvio. La relación altura del
ombligo / altura total en esta imagen pasa a ser 0,604, algo menor que
1/Φ=0,618... El texto que acompaña la imagen
no dice nada sobre esta relación, ni de la distancia desde el ombligo
hasta los pies. El texto no contiene ninguna mención a Φ. No hay ninguna
indicación en el cuadro de que Leonardo estaba haciendo algo más
profundo que relacionar al hombre con un círculo y un cuadrado. De
hecho, parece que Leonardo forzó las proporciones del hombre para que se
adaptaran a las figuras geométricas (ver la imagen en tamaño grande).
Si Leonardo quería incorporar Φ en la imagen, fácilmente podría haber
movido la posición del ombligo un poco. El hecho de que no lo hiciera
nos dice que no veía ninguna razón para hacerlo.
Rectángulos.
El rectángulo áureo tiene lados cuyas longitudes guardan la relación Φ,
y se supone que son los rectángulos más agradables o más atractivos.
Los estudios con personas reales, juzgando rectángulos de diferentes
proporciones han demostrado que las preferencias rectánguriles varían
ampliamente, aunque la mayoría de la gente prefiere una proporción de
3/4=0,75. El tamaño de nuestro libro recientemente publicado, Science Askew
tiene unas dimensiones de (222±0,5)mm x (142±1)mm, es decir una
relación de 0,64. Es sólo un 3,5% superior a 1/Φ. ¿Coincidencia?
Arte y arquitectura. Algunos autores afirman que los artistas y arquitectos a largo de la historia han incorporado deliberadamente a Φ en las proporciones de sus trabajos, y a menudo se cita como ejemplo de ello al Partenón.
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| La proporción áurea aparece en el Partenón por todos lados... ...si se eligen convenientemente los rectángulos. |
Una
fuente de internet dice que la letra griega Φ (phi) se utiliza para la
razón áurea, porque el arquitecto del Partenón fue Fidias. Es curioso,
pensábamos que phi era en honor a Fibonacci, ya que esta letra griega se
pronuncia igual que la primera sílaba de su nombre (fi). Pero debemos
preguntarnos, si
Φ
era tan importante para Fidias, entonces:
- ¿Por qué lo incorporó únicamente en el extremo más pequeño del edificio?
- ¿Por qué el rectángulo de planta está en proporción 7/16=0,4375, cuyo recíproco es 2,286? ¿No lo había hecho con la relación Φ o su recíproco? (hay algunos detalles del interior de la planta que se aproximan a la proporción áurea, pero no son visibles para alguien parado en su interior).
- El Partenón se encuentra en una colina, y ninguna de sus características rectangulares se ven como rectángulos desde el suelo.
- Fidias utilizó columnas que se estrechan hacia la parte superior, una ilusión empleada a menudo por los arquitectos que hace parecer más alta a la estructura. ¿No anula esto el supuesto propósito de utilizar el rectángulo de oro como rectángulo más atractivo?
Es
muy difícil encontrar una foto, dibujo o pintura del Partenón visto de
frente, para mostrar la belleza que se alega. Creo que la mayoría estará
de acuerdo en que el aspecto más atractivo es el habitual, que muestra
dos lados adyacentes, en perspectiva. El Partenón original se está
desmoronando, pero hay una réplica a escala exacta en Nashville,
Tennesee.Nos preguntamos por qué el rectángulo de oro incluye toda la fachada, y no sólo la parte rectangular visualmente dominante de la misma. ¿Cómo se decide si el dintel, se debe incluir? Para un científico, esto se parece a la imposición de los propios supuestos sobre los datos, tomando decisiones sin razones de peso. También nos preguntamos ¿cuán exactas son las medidas utilizadas? Para un estudiante de pseudociencias será el mismo tipo de ejercicio llevado a cabo por personas que piensan que pueden encontrar π en las mediciones de las pirámides de Egipto. Algunos los llaman "piramidiotas".
Ciertamente, la afirmación frecuentemente repetida de que el Partenón de Atenas está basado en la proporción áurea no es compatible con las mediciones reales. De hecho, toda la historia de los griegos y la razón de oro parece algo sin fundamento. Lo único que sabemos con certeza es que Euclídes en su famoso libro de texto (escrito alrededor del 300ac) Elementos, muestra cómo calcular su valor.-
Keith Devlin. Matemático.
Algunos
artistas modernos y arquitectos sí han incorporado deliberadamente la
razón de oro en sus obras, de maneras mucho más evidentes que las vistas
anteriormente. La afirmación de que el resultado es más agradable que
si se hubiese usado una proporción diferente sigue siendo sospechosa.
Mercado de valores.
Los inversionistas a menudo buscan el "santo grial", un método
matemático para predecir el mercado de valores. Algunos analistas del
mercado de valores utilizan la serie de Fibonacci para orientar sus
inversiones. Pues, podría funcionar tan bien como otros métodos tontos
para predecir el futuro: bien podrían lanzar los dados o leer las hojas
de té. Inspira mucha confianza la "experierticia" de ciertos corredores
de bolsa o de sociedades de inversión, ¿verdad?
¿Secuencias de Fibonacci en la naturaleza?
Filotaxis.
El diccionario define filotaxis como la historia o el curso de la
evolución de algo. En biología, generalmente se refiere a cómo un ser
vivo se desarrolla y cambia con el tiempo. Esta es una parte de la
naturaleza, donde la secuencia de Fibonacci y las secuencias
relacionadas parecen mostrarse muy a menudo y es legítimo preguntarse
por qué. Los casos interesantes son las inflorescencias de las plantas,
las semillas en el girasol y los patrones en las brácteas de las piñas.
Hemos señalado anteriormente que no todas las espirales en matemáticas o en la naturaleza son espirales de oro. Del mismo modo, las espirales pueden ser producidos por procesos no biológicos, si los elementos individuales que componen la espiral se establecen de acuerdo a algunas reglas simples. El problema para los biólogos es encontrar esas reglas. La mera afirmación de que "la naturaleza parece preferir los números de Fibonacci" (la mayor parte del tiempo, en algunos casos particulares) no es una explicación.
Espirales caseras.
La foto muestra cómo las arandelas forman una cadena, a partir del
centro. Cada una toca a la anterior, y cada vuelta apenas toca la
envoltura anterior. No se ve un patrón evidente al principio, pero
después de un número de vueltas, emerge un patrón de espirales
adicionales. El patrón depende del radio de la envoltura con relación al
radio de las arandelas.
 |
| Patrón del girasol realizado con arandelas. |
No
es necesaria la biología para producir espirales similares a los
encontrados en las semillas del girasol. Aquí un conjunto de arandelas
de metal se han dispuesto sobre una lámina magnética. Comenzando en el
centro, las arandelas se colocan en una cadena envolviendo la parte
central, dejando un espacio mínimo entre cada envoltura y la anterior.
Después de unas seis o siete vueltas se desarrollan patrones en espiral
adicionales, como los del girasol. La razón es simple: el patrón de las
semillas (y de nuestra espiral) es tal que provee un empaquetamiento muy
cercano entre las semillas (o arandelas) consistente con el proceso de
crecimiento.
Las semillas en el girasol es un ejemplo de la observación que el botánico William Hofmeister hizo en 1868: los primordios
se forman preferentemente donde haya mayor espacio disponible para
ellos. También se deben formar donde queden unidos de manera eficiente
al resto de la planta, y esta es la consideración geométrica. El patrón
también puede ser modificado por la humedad y los nutrientes, que
afectan el tamaño de las semillas en formación. El patrón rara vez sale
perfectamente adaptado a la proporción áurea. Sólo las veces que se
aproxima, son las que se van a ser fotografiados para los artículos
magufos sobre números de Fibonacci (algunos patrones
en espiral
del girasol se ajustan más a la sucesión de Lucas).
HSM Coxeter, en Introducción a la Geometría (1961, Wiley, página 172), dice:
...se debe admitir con franqueza que en algunas plantas los números no pertenecen a la secuencia de los Φ (los números de Fibonacci), sino a la secuencia de los G (números de Lucas), o inclusive a secuencias todavía más anómalas 3,1,4,5,9,... ó 5,2,7,9,16,... Así, debemos enfrentar el hecho de que filotaxis no es realmente una ley universal, sino sólo una tendencia prevalente fascinante...
Las
espirales se puede observar en las brácteas de las piñas del pino. El
número de espirales en sentido horario y antihorario, por lo general,
son dos enteros que resultan ser números adyacentes de la secuencia de
Fibonacci (5 y 8, por ejemplo). Es divertido buscar piñas cuyas
espirales no coinciden con este patrón, al igual que los niños que
buscan tréboles hasta que encontran uno con cuatro hojas en lugar de las
tres habituales.
 |
| ¿Fibonacci? No, el diseño de una remera. |
Pavo real casero.
Corta unas tiras de cartón y pinta puntos de color en cada tira, pero
de tal manera que las manchas se alternen. Cuando éstos se extienden
paralelos entre sí, se ve un patrón de líneas rectas, como los patrones
en un campo de maíz. Pero cuando se extiende como en abanico, aparece un
patrón de espirales.
Se
pueden construir espirales de muchos tipos mediante una simple regla
repetitiva de colocación de objetos, como en el ejemplo anterior. Esto
nos dice algo profundo sobre la naturaleza: no hace falta ser un diseñador inteligente
para producir un patrón que se reconoce como "ordenado". Un pequeño
conjunto de reglas muy simples pueden producir orden. Esto se demuestra
en los estudios matemáticos de autómatas celulares, y en el Juego de la Vida
de John Horton Conway. Parte de ese conjunto de reglas es la geometría
subyacente del campo de juego, lo que pone limitaciones a los procesos
físicos que pueden llevar a cabo.
Para agravar más la tontería
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ. Estas proporciones son de: 1, 0.5, 0.6, 0.618, 0.75 con recíprocos 1, 2, 1.5, 1.6, 1.618. En forma de fracción tenemos aproximadamente: 1/2, 2/3, 3/4, 4/3, 1, 3/2, 5/3 y 2 para jugar. Vamos a ver cómo un artista chapucero las manipula. Si también incluimos proporciones de estas relaciones, podemos jugar con 1/3, 3/8, 8/21, 5/13, 5/21. Incluso puede lanzar en el valor aproximado de 1,62 = 34/13 y su recíproco 13/34 para una buena medida.
He aquí un ejemplo de artista magufo trabajando. Fred Wilson, Especialista de Extensión en Ciencias de la Educación en el Instituto de Investigación de la Creación (ICR), escribió un artículo titulado "Formas, números, patrones y la Divina Proporción en la creación de Dios." (Impacto # 354, diciembre de 2002). Está lleno de tonterías y engaños religiosos. Su primer error consiste en introducir los números de Fibonacci, 1, 2, 3, 5, 8,... y luego nos dice que para dos miembros de la secuencia, la relación de la más pequeña a la más grande es "muy cercana a 0,618". En realidad eso sólo es cierto para las duplas con valores mayores a 55. Luego dice: "Esta relación sólo es cierta para este conjunto de números". Esto es falso de plano. Esta relación también se encuentra en la convergencia de la serie de Lucas y todas las sucesiones con la misma relación de recursividad. Son las llamadas "series generalizadas de Fibonacci". Sin embargo, los primeros números y sus proporciones son muy diferentes. Por ejemplo, la serie de Lucas empieza: 1, 3, 4, 7, 11, 18..., nos da la relación 3/4, que no tenía la serie de Fibonacci. ¡Elige otras semillas y se obtienen más proporciones para jugar!
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ. Estas proporciones son de: 1, 0.5, 0.6, 0.618, 0.75 con recíprocos 1, 2, 1.5, 1.6, 1.618. En forma de fracción tenemos aproximadamente: 1/2, 2/3, 3/4, 4/3, 1, 3/2, 5/3 y 2 para jugar. Vamos a ver cómo un artista chapucero las manipula. Si también incluimos proporciones de estas relaciones, podemos jugar con 1/3, 3/8, 8/21, 5/13, 5/21. Incluso puede lanzar en el valor aproximado de 1,62 = 34/13 y su recíproco 13/34 para una buena medida.
He aquí un ejemplo de artista magufo trabajando. Fred Wilson, Especialista de Extensión en Ciencias de la Educación en el Instituto de Investigación de la Creación (ICR), escribió un artículo titulado "Formas, números, patrones y la Divina Proporción en la creación de Dios." (Impacto # 354, diciembre de 2002). Está lleno de tonterías y engaños religiosos. Su primer error consiste en introducir los números de Fibonacci, 1, 2, 3, 5, 8,... y luego nos dice que para dos miembros de la secuencia, la relación de la más pequeña a la más grande es "muy cercana a 0,618". En realidad eso sólo es cierto para las duplas con valores mayores a 55. Luego dice: "Esta relación sólo es cierta para este conjunto de números". Esto es falso de plano. Esta relación también se encuentra en la convergencia de la serie de Lucas y todas las sucesiones con la misma relación de recursividad. Son las llamadas "series generalizadas de Fibonacci". Sin embargo, los primeros números y sus proporciones son muy diferentes. Por ejemplo, la serie de Lucas empieza: 1, 3, 4, 7, 11, 18..., nos da la relación 3/4, que no tenía la serie de Fibonacci. ¡Elige otras semillas y se obtienen más proporciones para jugar!
Wilson afirma que muchas de las cosas que utilizamos siguen (aproximadamente) el patrón del rectángulo áureo. En esta lista he añadido las mediciones y las relaciones a las que Wilson no hace mención.
Está
claro que está dispuesto a considerar relaciones "lo suficientemente
cercanas" a sus propósitos. Convenientemente no menciona los tamaños
estándares de papeles para impresión fotográfica de 3,5x5, el de 5x7 y
el de 8x10 (en pulgadas) ni las resmas de oficina de 8,5x11 o de 8,5x14
pulgadas. Las pantallas de computadora (4:3) tienen relación de 1,333 al
igual que las pantallas de cine hasta que se popularizaron los formatos
cinemascope y Panavision de pantalla ancha, cuya relación es de 2,666.
¿Y cuál es el punto de todos modos? Estas proporciones se determinan por el sistema de medición en uso, y, en el caso de papel fotográfico y de escritura, por la necesidad práctica de cortar hojas grandes en otras más pequeñas sin desperdicio.
Wilson afirma que los grandes artistas del pasado "han empleado la proporción de oro en sus obras".Dice (sin pruebas) que lo hicieron deliberadamente, al dividir sus pinturas "en áreas en función de las proporciones de oro" para determinar la ubicación de los horizontes, los árboles, y así sucesivamente. Obviamente, no tiene un amplio conocimiento de las obras de grandes artistas.
¿Y cuál es el punto de todos modos? Estas proporciones se determinan por el sistema de medición en uso, y, en el caso de papel fotográfico y de escritura, por la necesidad práctica de cortar hojas grandes en otras más pequeñas sin desperdicio.
Wilson afirma que los grandes artistas del pasado "han empleado la proporción de oro en sus obras".Dice (sin pruebas) que lo hicieron deliberadamente, al dividir sus pinturas "en áreas en función de las proporciones de oro" para determinar la ubicación de los horizontes, los árboles, y así sucesivamente. Obviamente, no tiene un amplio conocimiento de las obras de grandes artistas.
Wilson cita el número de pétalos en las flores.
Estos ejemplos se asocian con los números Fibonacci, pero lo que Wilson no menciona son estos otros:
En
alguna ocasión he visto rudbeckias de 13 pétalos (un número de
Fibonacci), pero debe ser un capricho de la naturaleza. En realidad,
esta planta tiene muchas variedades, con diferentes números de pétalos.
Muchos
árboles tienen las partes de la flor (estambres y pistilos) pero no
tienen pétalos. En la familia de la mostaza, el Hesperis matronalis
tiene 4 pétalos, una flor de jardín prolífica a lo largo de las
carreteras y los campos al comienzo del verano en los EE.UU. Todas estas
imágenes son de flores comunes, que se encuentran en los campos,
carreteras y jardines; no son rarezas exóticas. Cualquiera que acepte
las afirmaciones de magufos de que las plantas con flores prefieren los
números de Fibonacci, no sólo es un mal observador sino también bastante
crédulo.
Se pone mejor. Wilson dice que los estudios de filotaxis muestran que la disposición de las hojas alrededor de un tallo de la planta se ajustan a los números de Fibonacci. Wilson hizo una selección de casos, nuevamente, usando las proporciones de los primeros miembros de la serie y dejando de lado las plantas que tienen otras relaciones. Pero eso no es todo. ¡Pretende demostrar una relación entre estos números y los períodos de los planetas del sistema solar! Comparó período de cada planeta (¡en números redondos!) con el período del planeta adyacente, a partir de los más alejados del sol.
-
Los cinco sólidos pitagóricos regulares tienen caras de forma similar,
ya sea triángulos, cuadrados o pentágonos. Estos son también conocidos
como "sólidos platónicos". El tetraedro, el cubo, el octaedro, el
icosaedro y el dodecaedro tienen 4, 8, 6, 12 y 20 caras,
respectivamente. Sólo uno de éstos, el 8, es un número Fibonacci.
Johannes Kepler, cuando todavía se encontraba en su faceta mística,
trató de encajar estos números para "explicar" los tamaños de las
órbitas de los planetas. Tuvo que omitir demasiadas cosas para que su
modelo se adaptara a la realidad, por lo que sabiamente abandonó el
proyecto. Sólo cuando se deshizo de las correspondencias místicas, fue
capaz de formular el conjunto matemáticamente correcto de sus tres leyes
del movimiento planetario. Estas leyes, implícitamente, incorporan lo
que hoy conocemos como conservación del momento angular.
- La causa por la que Φ aparezca en la naturaleza tiene que ver con las limitaciones que la geometría impone a la manera en que los organismos crecen en tamaño. Los números irracionales (aquellos que no se puede expresar como una relación de enteros) son a menudo revelados en este proceso. Los números irracionales más conocidos son: √2=1.414213562.. , Φ=1,6180339887... e=2,71828183... , π=3,14159265... y los múltiplos o productos de ellos. Para hacer las cosas más interesantes, éstos están relacionados. Por ejemplo
Hemos visto que la secuencia Fibonacci no es la única secuencia que converge a Φ, hay muchas otras secuencias matemáticas que empiezan con los números de Fibonacci, pero a medida que la secuencia se extiende, convergen a otra cosa. Son muy interesantes, también y se les llama "falsificaciones de Fibonacci". Entonces, ¿cuál de todas éstas es la que contiene el fundamento místico matemático de la naturaleza?¡Pregunta más que tonta!
Pero esto plantea un pensamiento escéptico. En tests de "inteligencia" se dan secuencias de seis o siete números o letras, y se pide escribir las tres o cuatro siguientes que continúan la secuencia. Cuando ví por primera vez uno de estos tests en la escuela secundaria, me dije a mí mismo: "¡Esta pregunta es injusta!" ¿Por qué? Porque cualquier cadena finita de números o letras pueden ser el punto de partida de un número infinito de secuencias diferentes, todos con una fórmula de recurrencia diferente. ¿Quién puede decir cuál de estas fórmulas es la respuesta "correcta" o la respuesta "más inteligente" o incluso la "mejor" respuesta? Pensé para mis adentros: "¿Son tan idiotas los que escriben esto que no se dan cuenta de ese hecho obvio? Tal vez les hayan medido la inteligencia apropiadamente".
Recién ahora, en el comienzo del siglo XXI, los "expertos" en pruebas escolares están comenzado a darse cuenta que están mal, por esta misma razón. Recuerdo una sátira de una prueba educativa en la que solicitaron completar la serie: U D T C C S S _ _ _ ¿Es aceptable la respuesta de D T A? ("Una Doble Tragedia Cuando Carlos Saltó Solo Del Tren Andando"). Suena tan bien para mí como la respuesta esperada, "O N D" para "Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez".
Más pavadas
Esta
foto es una ingeniosa pieza de engaño. Sospecho que la imagen fue
embellecida deliberadamente para burlarse de la estupideces sobre
Fibonacci. El surco de agua no forma una espiral de Fibonacci, pero
alguien, astutamente, ha superpuesto el rectángulo de oro para que a
primera vista lo parezca. Mire cuidadosamente: ese rectángulo interior
grande, debería ser un cuadrado, cuando en realidad es más ancho que
alto. El rectángulo en la esquina superior derecha es casi cuadrado. Si
quisieras hacer trampa reduciendo el ancho (horizontal), se podría
convertir el rectángulo grande en el cuadrado correspondiente, pero el
más pequeño de arriba a la derecha dejaría de ser casi cuadrado. Creo
que eso es una clara evidencia de que alguien nos quiso engañar,
probablemente para burlarse de lo que llamo "la necedad de Fibonacci".
La apariencia de "dibujado a mano" de los rectángulos parece ideada para
ocultar el engaño. Esto se hace a menudo con las imágenes de conchas de
Nautilus que se ven en libros. Un físico podría concluir de inmediato
que esto no puede ser una espiral de oro, ni ninguna de las espirales de
los libros de texto. Los libros de texto importantes sobre espirales
matemáticas muestran imágenes y ecuaciones para la espiral de
Arquímedes, la espiral logarítmica, la espiral hiperbólica, la espiral
parabólica, y mi favorita, la involuta de un círculo. La razón es
simple. Estas espirales son radialmente equidistantes. En esta imagen,
la gravedad distorsiona la espiral. Además, la fuente del agua, el
cabello húmedo, no es estacionaria. Se produce así este cuadro dramático
arrojando la cabeza y el cuerpo rápidamente hacia arriba y hacia atrás.
A este tipo de engaños es a lo que me opongo. Si uno quiere ser
honesto, podría decir que esta imagen "sugiere" una espiral de oro, pero
que sea "algo así como" una espiral de oro no nos dice nada útil al
respecto.
*El
número cero puede considerarse como número de Fibonacci. Si elegimos 0 y
1 como semillas para generar la secuencia, la secuencia posterior es
idéntica. Es sólo una cuestión de definición. Si definimos las semillas
como los enteros más pequeños que generan la secuencia, y siendo el cero
es un número entero, entonces, ciertamente, cero corresponde a la
definición de un número de Fibonacci.
 |
| Estas rudbeckias, con 14 pétalos, desconocen la secuencia de Fibonacci. |
 |
| Una lila con 6 pétalos desafiando a Fibonacci. |
 |
| El Hesperis matronalis, de la familia de la mostaza, posee 4 pétalos. |
Se pone mejor. Wilson dice que los estudios de filotaxis muestran que la disposición de las hojas alrededor de un tallo de la planta se ajustan a los números de Fibonacci. Wilson hizo una selección de casos, nuevamente, usando las proporciones de los primeros miembros de la serie y dejando de lado las plantas que tienen otras relaciones. Pero eso no es todo. ¡Pretende demostrar una relación entre estos números y los períodos de los planetas del sistema solar! Comparó período de cada planeta (¡en números redondos!) con el período del planeta adyacente, a partir de los más alejados del sol.
Lamentablemente,
Plutón, Neptuno, Venus y la Tierra no se ajustan a este esquema. Es el momento
de la racionalización y sus conclusiones son todavía más disparatadas:
- "Esta correlación es mucho más que un arreglo al azar. Es un ejemplo más de la maravillosa disposición de matemática de la creación de Dios. El hecho de que no sea perfecta revela que aunque el pecado de Adán afectó a toda la creación (Romanos 8:22), aún así Dios en su bondad no permitió que el pecado de superara todas las marcas de la gran obra de sus manos (Salmo 19:1)."
- "La divergencia más interesante de la tabla es la de la Tierra, el siguiente planeta en la serie después de Marte. Si bien su número debería ser 8:21, no lo es... En mi opinión, esta anomalía es una prueba de Dios mostrando la singularidad del planeta Tierra en relación con el cosmos. "
Esto es un clásico de charlatanería pseudomística. Después de todo estos disparates, Wilson tiene la audacia de decir:
"Pensar que los períodos de revolución de los planetas alrededor del
Sol se relacionan con la disposición de las hojas alrededor de los
tallos de las plantas es también un fenómeno increíble".
Increíble,
o mejor dicho "no creíble". Cualquier cosa que ajuste, es evidencia de
la creación de Dios; cualquier cosa que no encaje es evidencia de que
esa cosa que es "especial" a los ojos de Dios. Otras cosas que no
encajan, explica, se deben al pecado de Adán. Da miedo de sólo pensar
que alguien con esta urdimbre en la cabeza está encargado de la
enseñanza de ciencias de los estudiantes del ICR, quienes pueden
conseguir una certificación para enseñar ciencias en las escuelas
secundarias. Este tipo de argumento falaz es totalmente típico de la
basura pseudocientífica periódicamente vomitada por los creacionistas. Y
luego se preguntan por qué los científicos de verdad no los toman en
serio.
Conclusión
 |
| La pirámide de Giza y la manipulación de π. |
No
es muy difícil encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o relación
matemática que se desee. Por eso, algunas personas cometen el error de
suponer que esto revela un principio místico que rige la naturaleza.
Esto se ve reforzado al hacer caso omiso de los casos de igual
importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno,
se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder
adaptarse, simplemente ponen la excusa que son "casos especiales".
-
Las áreas de objetos matemáticos similares son proporcionales al
cuadrado de sus dimensiones lineales; sus volúmenes son proporcionales
al cubo de sus dimensiones lineales. Las intensidades de campo
gravitacional y el eléctricos obedecen a una relación del inverso del
cuadrado con la distancia. La intensidad de radiación obedece a una
relación del inverso del cuadrado con la distancia a una fuente puntual.
Esto tiene una razón de fondo: la geometría del universo es casi
euclidiana, por lo tanto, estos resultados están dictados por ese hecho
geométrico. En ningún momento nos sugiere que haya algo místico en las
potencias de 2 y de 3.
La
razón de la circunferencia al diámetro de un círculo, es el número π
(pi). Aparece en muchas fórmulas para hallar relaciones geométricas de
objetos redondos. La obsesión favorita de los "numerólocos" es la
búsqueda de π en las estructuras hechas por el hombre, tales como las
pirámides de Egipto. Busca y encontrarás... si estás dispuesto a
seleccionar datos y añadir un poco de chapuza.
 |
| Los cinco sólidos regulares correspondientes a los cinco elementos. |
- La causa por la que Φ aparezca en la naturaleza tiene que ver con las limitaciones que la geometría impone a la manera en que los organismos crecen en tamaño. Los números irracionales (aquellos que no se puede expresar como una relación de enteros) son a menudo revelados en este proceso. Los números irracionales más conocidos son: √2=1.414213562.. , Φ=1,6180339887... e=2,71828183... , π=3,14159265... y los múltiplos o productos de ellos. Para hacer las cosas más interesantes, éstos están relacionados. Por ejemplo
el número phi, también puede expresarse como:
- La identidad de Euler:
refiere a e, i y
π
. Los procesos naturales en los que aparecen los números irracionales no
se rigen ni son causados por Φ con el fin de lograr algún propósito o
resultado deseado, sino que se ven condicionadosos por la geometría del
universo y por las limitaciones impuestas por la geometría de los
procesos de crecimiento.
refiere a e, i y
π
. Los procesos naturales en los que aparecen los números irracionales no
se rigen ni son causados por Φ con el fin de lograr algún propósito o
resultado deseado, sino que se ven condicionadosos por la geometría del
universo y por las limitaciones impuestas por la geometría de los
procesos de crecimiento.
La
gente adicta a las matemáticas místicas está realmente motivada por la
creencia de que hay algo "mágico" acerca de ciertas combinaciones de
números. Son buscadores obsesivos de patrones. El reconocimiento de
patrones puede ser un rasgo útil, salvo cuando es llevado al punto de
creer que cada patrón percibido representa algo profundo o místico.
Reflexiones varias
Hemos visto que la secuencia Fibonacci no es la única secuencia que converge a Φ, hay muchas otras secuencias matemáticas que empiezan con los números de Fibonacci, pero a medida que la secuencia se extiende, convergen a otra cosa. Son muy interesantes, también y se les llama "falsificaciones de Fibonacci". Entonces, ¿cuál de todas éstas es la que contiene el fundamento místico matemático de la naturaleza?¡Pregunta más que tonta!
Pero esto plantea un pensamiento escéptico. En tests de "inteligencia" se dan secuencias de seis o siete números o letras, y se pide escribir las tres o cuatro siguientes que continúan la secuencia. Cuando ví por primera vez uno de estos tests en la escuela secundaria, me dije a mí mismo: "¡Esta pregunta es injusta!" ¿Por qué? Porque cualquier cadena finita de números o letras pueden ser el punto de partida de un número infinito de secuencias diferentes, todos con una fórmula de recurrencia diferente. ¿Quién puede decir cuál de estas fórmulas es la respuesta "correcta" o la respuesta "más inteligente" o incluso la "mejor" respuesta? Pensé para mis adentros: "¿Son tan idiotas los que escriben esto que no se dan cuenta de ese hecho obvio? Tal vez les hayan medido la inteligencia apropiadamente".
Recién ahora, en el comienzo del siglo XXI, los "expertos" en pruebas escolares están comenzado a darse cuenta que están mal, por esta misma razón. Recuerdo una sátira de una prueba educativa en la que solicitaron completar la serie: U D T C C S S _ _ _ ¿Es aceptable la respuesta de D T A? ("Una Doble Tragedia Cuando Carlos Saltó Solo Del Tren Andando"). Suena tan bien para mí como la respuesta esperada, "O N D" para "Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez".
Tomado de: http://mitosytimos.blogspot.com.ar/2012/08/la-desproporcion-aurea.html?m=1
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