30 agosto 2014

Acelerómetro eléctrico

1 Enunciado

Se construye un acelerómetro eléctrico mediante dos condensadores en serie, de sección cuadrada de lado L y con placas separadas una distancia $a$. Entre los extremos de la asociación se encuentra aplicada una d.d.p. constante V0. Un líquido dieléctrico ideal, de permitividad \varepsilon, puede pasar de uno a otro condensador. En el estado de movimiento uniforme, el líquido llena hasta la mitad ambos condensadores. Cuando el sistema posee una cierta aceleración, los niveles cambian, de forma que entre los dos condensadores existe un desnivel h (ver figura) relacionado con la aceleración por la ecuación a / g = h / d, siendo d la distancia entre los condensadores.
  1. Halle la diferencia de potencial entre las placas del condensador 1. Calcule la diferencia con su valor para h = 0 y, a partir de aquí, obtenga la aceleración del dispositivo.
  2. ¿Cuánto varía la carga del condensador 1 cuando el desnivel pasa de 0 a h? ¿Y la energía electrostática almacenada en el sistema?
Archivo:acelerometro.png

2 Variación en la d.d.p.

Tenemos un sistema formado por dos condensadores, de capacidades C1 y C2, puestos en serie. Se trata de hallar la diferencia de potencial en uno de ellos, cuando la asociación está sometida a una tensión V0. Esta d.d.p. es igual a
V_1 = \frac{Q_1}{C_1}
siendo Q1 la carga del condensador 1, que es la misma que la de la asociación por estar en serie los dos condensadores
Q1 = Q2 = Q = CeqV0
Por tanto, la cantidad que deseamos hallar es
V_1 = \frac{C_\mathrm{eq}}{C_1}V_0
siendo
C_\mathrm{eq} = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
A su vez, cada una de las capacidades individuales equivale a la de una asociación en paralelo de dos condensadores
C_1 = C_{1a}+C_{1b}\qquad\qquad C_2 = C_{2a}+C_{2b}
siendo las capacidades elementales
\begin{array}{rclcrcl}
C_{1a} & = & \displaystyle\frac{\varepsilon L(L/2+h/2)}{a} = \frac{\varepsilon L(L+h)}{2a} & \qquad & C_{1b} & = & \displaystyle\frac{\varepsilon_0 L(L/2-h/2)}{a} = \frac{\varepsilon_0 L(L-h)}{2a} \\
& & & & & & \\
C_{2a} & = & \displaystyle\frac{\varepsilon L(L/2-h/2)}{a} = \frac{\varepsilon L(L-h)}{2a} & \qquad & C_{2b} & = & \displaystyle\frac{\varepsilon_0 L(L/2+h/2)}{a} = \frac{\varepsilon_0 L(L+h)}{2a}
\end{array}
y las de los condensadores 1
C_1 = C_{1a}+C_{1b}=\frac{\varepsilon L(L+h)+\varepsilon_0 L(L-h)}{2a}= \frac{L(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))}{2a}
y 2
C_2 = C_{2a}+C_{2b}=\frac{\varepsilon L(L-h)+\varepsilon_0 L(L+h)}{2a}= \frac{L(L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0))}{2a}
La capacidad equivalente de la asociación verifica
\frac{1}{C_\mathrm{eq}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{2a}{L(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))}+ \frac{2a}{L(L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0))}
Sumando las dos fracciones
\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}{(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))(L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0))}
llegamos a la capacidad equivalente
C_\mathrm{eq}=\frac{(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))(L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0))}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}
Obtenemos la diferencia de potencial en el condensador 1 dividiendo por la capacidad de este condensador y multiplicando por el voltaje aplicado:
V_1 = \frac{C_\mathrm{eq}}{C_1}V_0 = \left(\frac{(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))(L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0))}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}\right)\left(\frac{2a}{L(L(\varepsilon+\varepsilon_0)+h(\varepsilon-\varepsilon_0))}\right)V_0
Simplificando
V_1 = \frac{L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0)}{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)}V_0
Esta es la d.d.p. para cualquier valor de h. Para el caso de aceleración nula h = 0 y
V_1 = \frac{L(\varepsilon+\varepsilon_0)}{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)}V_0= \frac{V_0}{2}
esto es, cae la mitad de la tensión en cada condensador, como era de esperar.
Obtenemos la variación en la tensión entre h = 0 y un valor genérico de h restando
V_1(h) - V_1(0) = \left(\frac{L(\varepsilon+\varepsilon_0)-h(\varepsilon-\varepsilon_0)}{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)}-\frac{1}{2}\right)V_0
= -\frac{h(\varepsilon-\varepsilon_0)V_0}{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)}
La variación es proporcional al desnivel h. De aquí podemos despejar este desnivel
h = -\frac{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)}{(\varepsilon-\varepsilon_0)V_0}(V_1(h)-V_1(0))
y finalmente obtenemos la aceleración
a = \frac{gh}{d}=-\frac{2L(\varepsilon+\varepsilon_0)g}{d(\varepsilon-\varepsilon_0)V_0}(V_1(h)-V_1(0))

3 Carga y energía

3.1 Carga

La variación de la carga en el sistema se debe a la variación en la capacidad, siendo el voltaje total aplicado una constante
ΔQ = Q(h) − Q(0) = (Ceq(h) − Ceq(0))V0
La capacidad total según dijimos, es la de una asociación en serie
C_\mathrm{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
El producto de las dos capacidades individuales es una suma por una diferencia
C_1C_2 = \frac{L^2\left(L^2(\varepsilon+\varepsilon_0)^2-h^2(\varepsilon-\varepsilon_0)^2\right)}{4a^2}
Dividiendo por la suma de las capacidades, que calculamos anteriormente
C_1+C_2=\frac{L^2(\varepsilon+\varepsilon_0)}{a}
queda la capacidad equivalente
C_\mathrm{eq}= \frac{L^2(\varepsilon+\varepsilon_0)^2-h^2(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}
Cuando h=0, esta capacidad se reduce al primer sumando
C_\mathrm{eq}(0) = \frac{L^2(\varepsilon+\varepsilon_0)^2}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}
por lo que el incremento en la capacidad queda como el segundo sumando
\Delta C_\mathrm{eq}=-\frac{h^2(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}
lo que nos da una variación en la carga
\Delta Q = (\Delta C_\mathrm{eq})V_0 = -\frac{h^2(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{4a(\varepsilon+\varepsilon_0)}V_0
Este incremento es negativo para todo h.

3.2 Energía

El incremnto (o decremento) en la energía almacenada se calcula de forma idéntica, ya que se también debe a la variación en la capacidad
\Delta U_\mathrm{eq} = \frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(h)V_0^2-\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}(0)V_0^2 = \frac{1}{2}(\Delta C_\mathrm{eq})V_0^2
Sustituyendo la variación en la capacidad que calculamos antes
\Delta U_\mathrm{eq} = -\frac{h^2(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{8a(\varepsilon+\varepsilon_0)}V_0^2

Tomado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Aceler%C3%B3metro_el%C3%A9ctrico

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