09 marzo 2015

Refracción de un campo eléctrico

1 Enunciado

El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo π / 6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π / 3 con la normal. Halle:
  1. La permitividad relativa del medio.
  2. El módulo del campo en el interior del material.
  3. La densidad de carga de polarización en la frontera.
  4. El salto en la componente tangencial de \mathbf{D}.

2 Permitividad y campo

Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío
\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l =0        \mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}
donde la densidad de carga libre es nula por tratarse de un dieléctrico ideal del que no se nos dice que esté cargado.
Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado
D_{1n}=D_{2n}\,
siendo 1 el dieléctrico y 2 el vacío. En términos del campo eléctrico, esta condición es
\varepsilon E_{1n}=\varepsilon_0E_{2n}
La condición de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico se expresa
E_{1t}=E_{1t}\,
A su vez, para el dieléctrico tenemos, de acuerdo con la figura
E_{1t} = -|\mathbf{E}_1|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|        E_{1n} = -|\mathbf{E}_1|\,\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|
y para el vacío
E_{2t} = -|\mathbf{E}_2|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|        E_{2n} = -|\mathbf{E}_2|\,\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|
Llevando esto a las dos condiciones de salto queda, para la componente normal
-\frac{1}{2}\varepsilon|\mathbf{E}_1|= -\frac{\sqrt{3}}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}_2|
y para la tangencial
-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|= -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|

2.1 Permitividad relativa

Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos
\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}= \varepsilon_0\sqrt{3}
lo que nos da la permitividad relativa
\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=3

2.2 Módulo del campo

El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico
|\mathbf{E}_1| = \frac{1}{\sqrt{3}}|\mathbf{E}_2| = 58\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Alternativamente, puede hallarse la permitividad una vez conocido el módulo del campo, a partir de la continuidad de la componente normal del desplazamiento.

3 Carga de polarización

La polarización en un medio lineal verifica
\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}
y la carga de polarización en la interfaz es
\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})
En términos de los módulos
\sigma_p = \varepsilon_0\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|+\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|\right)
Sustituyendo los valores numéricos
\sigma_p = -511\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}

4 Salto en el desplazamiento

Del mismo modo que el campo eléctrico es continuo en su componente tangencial, pero discontinuo en la normal (debido a la densidad de carga de polarización), el vector desplazamiento es continuo en su componente normal, pero discontinuo en la tangencial (debido de nuevo a la polarización).
[D_t]=D_{2t}-D_{1t} = \varepsilon_0E_{2t}-\varepsilon E_{1t}=-\frac{1}{2}(\varepsilon_0-\varepsilon)|\mathbf{E}_2|
Sustituyendo los valores numéricos
[D_t]= 885\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}

Tomado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Refracci%C3%B3n_de_un_campo_el%C3%A9ctrico

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