17 diciembre 2014

Conductividad del suelo

1 Enunciado

Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.
  1. Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio a, perfectamente conductor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
  2. Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión V0, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
  3. Si para una tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de 0.63 A, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

2 Potencial de un electrodo

Para determinar el potencial, debemos establecer las ecuaciones y condiciones de contorno que satisface.
En el estado estacionario, la densidad de corriente es solenoidal
\nabla{\cdot}\mathbf{J}= 0
y se cumple la ley de Ohm
\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} = -\sigma\nabla\phi
por lo que la ecuación para el potencial es
\nabla{\cdot}(\sigma\nabla\phi)=0
Por ser la conductividad la misma en todos los puntos, esta ecuación se reduce a la de Laplace
\nabla^2\phi=0\,
Las condiciones para el potencial son que en el infinito se anule
\phi\to 0 \qquad (r\to\infty)
que sobre la superficie del electrodo valga V0
\phi =V_0 \qquad (r=a)
y que en la superficie exterior del terreno la corriente no pueda salir (pues fuera hay un dieléctrico perfecto, el aire)
\mathbf{n}{\cdot}\mathbf{J} = 0
Sobre esta superficie el vector normal, en esféricas, es -\mathbf{u}_{\theta} (ya que se trata de la superficie ecuatorial θ = π / 2), por lo que, en términos del potencial queda
\frac{\partial\phi}{\partial \theta} = 0 \qquad \left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)
Para resolver este problema suponemos, como dice el enunciado, que φ depende exclusivamente de la distancia al centro de la esfera. En este caso la ecuación de Laplace se reduce a
\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\right) = 0
cuya solución es de la forma
\phi = A + \frac{B}{r}
Imponiendo que en el infinito se anule queda
0 = A\,
mientras que si en r = a vale V0
V_0 = \frac{B}{a} \quad\Rightarrow\quad B = V_0 a
con lo que el potencial en todos los puntos del exterior de la esfera vale
\phi = \frac{V_0a}{r}
Podemos comprobar que este potencial, que no depende de θ, también satisface la condición de contorno en la superficie del terreno.
A partir de aquí, hallamos el campo y la densidad de corriente
\mathbf{E} = -\nabla\phi = \frac{V a}{r^2}\mathbf{u}_{r}        \mathbf{J} =\sigma\mathbf{E} = \frac{\sigma V_0 a}{r^2}\mathbf{u}_{r}
Esta distribución de corriente es radial desde el electrodo hacia el infinito.
Para hallar la resistencia entre el electrodo y el infinito, calculamos la corriente que llega al electrodo por el cable. Para ello, tomamos una superficie cerrada que envuelva a todo el electrodo. Por estar en el estado estacionario
0 = \oint \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = -I + \int_m \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}
El flujo de \mathbf{J} se descompone en dos partes, una en el cable y otra en el suelo (la parte del aire no contribuye, por no ser un medio conductor).
La integral en el material la podemos hacer sobre una superficie hemisférica de radio r. Sobre esta superficie \mathbf{J} y \mathrm{d}\mathbf{S} son vectores paralelos y \mathbf{J} tiene módulo uniforme
I = \int_m \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int J \,\mathrm{d}S = 2\pi r^2 J(r) = 2\pi\sigma a V_0
Como debía suceder, el resultado no depende de la superficie elegida, pues I tiene un único valor.
De aquí, la conductancia y la resistencia entre el electrodo y el infinito valen
G = \frac{I}{V_0} = 2\pi\sigma a        R = \frac{1}{G} = \frac{1}{2\pi\sigma a}
Este resultado coincide con el que se obtendría mediante la analogía entre la conductancia y la capacidad. La capacidad de una esfera de radio a es C=4\pi\varepsilon_0 a$. La conductancia de una esfera resultará de sustituir \varepsilon_0 por σ, G = 4πσa. La conductancia de media esfera será la mitad de este valor, que es lo que hemos obtenido.

3 Corriente entre dos electrodos

Si tenemos dos electrodos entre los cuales se establece una diferencia de potencial V0, y estos electrodos están muy alejados, cada uno de ellos se comporta como el del apartado anterior. Esto es, el circuito equivalente estará formado por la fuente que conecta los dos electrodos y una resistencia que une cada uno de ellos con el infinito.
        
Estas dos resistencias forman una asociación en serie, ya que están unidas por uno solo de sus extremos (el que está a tierra, ya que ambas conexiones a tierra pueden considerarse a un nodo común). No estarán en paralelo, ya que el otro extremo se encuentra a distinto potencial en cada resistencia.
La resistencia total entre los dos electrodos será
R_T = R + R = \frac{1}{\pi\sigma a}
y la corriente que circula entre ellos
I = \frac{V_0}{R_T} = \pi\sigma a V_0
De este resultado, conocidas la corriente y la tensión, podemos determinar la conductividad.

4 Conductividad del suelo

Despejando en la expresión anterior queda
\sigma = \frac{I}{\pi a V_0}
Sustituyendo los valores numéricos del enunciado
\sigma = \frac{0.63\,\mathrm{A}}{\pi \times 0.1\,\mathrm{m}\times 100\,\mathrm{V}} \simeq 0.02 \,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}

Tomado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Conductividad_del_suelo

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