26 julio 2016

Derivadas, ¿con primas o con diferenciales?

De vez en cuando recuerdo mis tiempos en el instituto (y según el día también me echo al suelo en posición fetal al recordarlos). Por aquel entonces, las matemáticas se convirtieron en mi asignatura más odiada y, muy a menudo, suspendida. Como muchos otros estudiantes, me topé con ese par de pesadillas matemáticas que, como el hombre de la bolsa, dejan de asustarte a partir de cierta edad. Me refiero a las derivadas y las integrales. Hoy hablaré solamente de las primeras, y que no se asuste nadie, a pesar de las fórmulas, no resolveré ni desarrollaré nada… Simplemente hablaré de su aspecto.

Decía Richard P. Feynman que:

Las matemáticas son, en gran medida, el arte de inventar notaciones mejores.

Se trata de una frase muy apropiada para alguien que inventó un modo gráfico, bastante útil, limpio e incluso estético, de interpretar las interacciones entre partículas subatómicas. Pero no nos llevemos a engaño… no hace falta acudir a las altas cimas de la física de partículas para encontrar ejemplos en los que una buena notación puede facilitarnos la vida, o una mala dificultárnosla innecesariamente. Si no me creen, prueben a hacer multiplicaciones con lápiz y papel, pero usando números romanos.

Volviendo a mis problemas con las derivadas, recuerdo que, tras muchos quebraderos de cabeza, descubrí que un simple cambio de notación mejoraba enormemente mi rendimiento en los ejercicios: se trataba de la conocida como notación de Leibniz. Quizá con ese nombre no suene muy familiar: ¿qué tal notación “de primas” y notación “de diferenciales”? La siguiente figura ayudará a refrescar la memoria:
Ambas significan exactamente lo mismo: derivada
Por motivos que jamás comprenderé (agradezco si alguien arroja algo de luz en los comentarios) los libros de texto de bachillerato de matemáticas utilizaban notación de Lagrange, mientras que los de física utilizaban notación de Leibniz.

Llegados a este punto mis lectores pensarán algo como: “¡No me jodas Pablo (Rodríguez, el autor del articulo)!, ¿en serio tienes una opinión apasionada sobre notaciones?” Pues en efecto, la tengo; es más, me considero un auténtico hooligan de la notación de Leibniz. Muy especialmente cuando se trata de enseñar a derivar a principiantes como el que yo fui. Expondré mis motivos:

La notación de Lagrange es una rareza: solamente se usa para derivadas de funciones de una variable. Para integrales y funciones de varias variables se usa siempre la notación de Leibniz, de modo que vas a tener que aprenderla te guste o no. ¿Sabes qué pinta tiene una integral en notación de Lagrange?, probablemente no, porque apenas se usa. Si sientes curiosidad, mira la figura a continuación:
¿No te suena la notación de Lagrange para integrales?, es normal, ¡nadie la usa!
Quizá el lector recuerde que el diferencial (dt en el ejemplo anterior) jugaba cierto papel a la hora de hacer integrales. Hasta el punto de que existe un método, el de integración mediante cambio de variable, que obliga a hacer ciertas operaciones con él. Pues bien, esto también es cierto (y esencialmente por los mismos motivos) en el caso de las derivadas, como veremos en el siguiente apartado.

La regla de la cadena es sencillísima usando notación de Leibniz: este es sin duda el motivo más importante. La mayoría de ejercicios de derivación a los que se enfrentan los estudiantes no son difíciles, pero son enrevesados. Exigen la aplicación sucesiva de varios pasos sencillos. Uno de los métodos que más quebraderos de cabeza causan es el de la regla de la cadena, usado para derivar funciones compuestas. Veamos un ejemplo mínimo:
Regla de la cadena en la notación de Lagrange
Para empezar, escrita así es una regla difícil de recordar. Además, en cada caso, el símbolo ” ‘ ” significa derivada respecto a una variable diferente. La misma regla, escrita en notación de Leibniz, tiene este aspecto:
Regla de la cadena con notación de Leibniz
Escrita así resulta no solo más fácil de recordar (parece un producto de fracciones en las que ambos du pueden eliminarse), si no también de aplicar, sobretodo cuando es necesario aplicar varias veces de forma sucesiva:
Aplicando la regla de la cadena varias veces seguidas usando notación de Leibniz
Usando la notación de Lagrange el ejemplo anterior tendría un aspecto realmente enrevesado.

La notación de Leibniz permite definir un operador independiente. La notación de Leibniz es mucho más cómoda a la hora de definir un operador derivada, en abstracto:
Lo que me des, lo derivo respecto a t
¿Y para qué me sirve a mí un operador abstracto?, pensará el lector. Pues para algo bastante útil cuando te atascas en mitad de un examen: tomarte un respiro en mitad de un ejercicio. Cuando tenes que hacer una derivada larga, no es fácil escribir pasos intermedios usando notación de Lagrange, sin embargo con la notación de Leibniz puedes dejarte un buen trozo sin derivar y colocar el símbolo delante… para atacarlo después.

La notación de Leibniz es más cercana a la definición de derivada. Esto más que una razón es un por qué. Si echas un vistazo a lo que realmente es una derivada, verás que su estructura contiene una fracción:
DERIVADA07
Es esta semejanza estructural de las derivadas con la notación de Leibniz es la que explica que, de forma natural, muchas propiedades de las derivadas se expresen de forma más clara con esta notación.

En resumen: ¡Mejor usa Leibniz, che!

Para más información sobre estas y otras notaciones aún más marginales, recomiendo este artículo de Wikipedia (en inglés): Notation for differentiation

Basado en: http://fuga.naukas.com/2016/03/10/derivadas-con-primas-o-diferenciales/ donde van a encontrar otros articulos excelentes.