1 Enunciado
El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo π / 6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π / 3 con la normal. Halle:- La permitividad relativa del medio.
- El módulo del campo en el interior del material.
- La densidad de carga de polarización en la frontera.
- El salto en la componente tangencial de
.
2 Permitividad y campo
Este problema se reduce a aplicar las condiciones de salto en la interfaz entre el dieléctrico y el vacío![\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_l =0](http://laplace.us.es/wiki/images/math/d/c/d/dcdfc992390471d96423f4d6eda8844c.png)
![\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/6/d/9/6d9a6f945a9f8273282ed8720257a0ba.png)
Si separamos cada campo en una componente normal a la superficie y una tangencial a ella, queda, por lado
![D_{1n}=D_{2n}\,](http://laplace.us.es/wiki/images/math/7/4/f/74f02276701f60247f6603d4d76351fd.png)
![\varepsilon E_{1n}=\varepsilon_0E_{2n}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/3/f/5/3f593e38241eddd53af41105f7a305ea.png)
![E_{1t}=E_{1t}\,](http://laplace.us.es/wiki/images/math/2/7/e/27ed02954587a27e9cd6ec1362a6f76a.png)
![E_{1t} = -|\mathbf{E}_1|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/f/d/4/fd4bf9a33e8f18ba30f9317bf4704304.png)
![E_{1n} = -|\mathbf{E}_1|\,\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/c/4/a/c4a2e11bf02e86ac254c7898d8171af1.png)
![E_{2t} = -|\mathbf{E}_2|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/0/a/6/0a6ae3ed9a190000abf98adcabcbbaab.png)
![E_{2n} = -|\mathbf{E}_2|\,\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/b/4/3/b43a49a43204177574555157cf78ddee.png)
![-\frac{1}{2}\varepsilon|\mathbf{E}_1|= -\frac{\sqrt{3}}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}_2|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/f/0/2/f02cc16cad7f9b4318e3ecbd81088863.png)
![-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_1|= -\frac{1}{2}|\mathbf{E}_2|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/f/7/2/f725e0574017f38a61127d5aad20a833.png)
2.1 Permitividad relativa
Dividiendo una igualdad por la otra obtenemos![\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}= \varepsilon_0\sqrt{3}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/e/c/0/ec0d9ff254f7aaed16055c9b35831b35.png)
![\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}=3](http://laplace.us.es/wiki/images/math/5/7/1/5714e2b08338e1a4196b9568b9151f2b.png)
2.2 Módulo del campo
El módulo del campo podemos hallar de la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico![|\mathbf{E}_1| = \frac{1}{\sqrt{3}}|\mathbf{E}_2| = 58\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/c/4/3/c435b6ce7ff01c7a41cda2834a00165d.png)
3 Carga de polarización
La polarización en un medio lineal verifica![\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/b/f/b/bfb8eca79f28ff0f71d375865ef922cf.png)
![\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\overbrace{\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]}^{=0}+\varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})](http://laplace.us.es/wiki/images/math/1/2/0/120d8e9d58e022681b86fa0bf3661ae0.png)
![\sigma_p = \varepsilon_0\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}|\mathbf{E}_2|+\frac{1}{2}|\mathbf{E}_1|\right)](http://laplace.us.es/wiki/images/math/b/8/2/b8298278bc26157d0912502e8c58168b.png)
![\sigma_p = -511\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/8/2/a/82a00751b0434a04d9314bbeb00d7729.png)
4 Salto en el desplazamiento
Del mismo modo que el campo eléctrico es continuo en su componente tangencial, pero discontinuo en la normal (debido a la densidad de carga de polarización), el vector desplazamiento es continuo en su componente normal, pero discontinuo en la tangencial (debido de nuevo a la polarización).![[D_t]=D_{2t}-D_{1t} = \varepsilon_0E_{2t}-\varepsilon E_{1t}=-\frac{1}{2}(\varepsilon_0-\varepsilon)|\mathbf{E}_2|](http://laplace.us.es/wiki/images/math/7/5/6/7568a8b08b9c7499e349d64295e267bc.png)
![[D_t]= 885\,\frac{\mathrm{pC}}{\mathrm{m}^2}](http://laplace.us.es/wiki/images/math/5/c/8/5c81d3ace2d4e271c8ebbef57577af7d.png)
Tomado de: http://laplace.us.es/wiki/index.php/Refracci%C3%B3n_de_un_campo_el%C3%A9ctrico
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